Problema 4.4. Dados a, b e c inteiros quaisquer e m um inteiro maior do que 1 , mostre as seguintes afirmações:
(b) Se a equiv b bmod m, então b equiv a bmod m.

Passo 1

Neste exercício vamos provar a simetria da congruência módulo m: dado a,binZ e m>1, mostrar que aequiv bpmod m implica bequiv apmod m. Vamos usar a definição de congruência: xequiv ypmod m significa que m divide a diferença x-y.

Passo 2

Suponha que aequiv bpmod m. Pela definição de congruência, existe um inteiro k tal que
a - b = k,m
Bastando reescrever esta equação, obtemos
b - a = -k,m,
o que mostra que m também divide b-a.

Passo 3

Como m divide b-a, concluímos pela definição de congruência que bequiv apmod m.

Resposta

bequiv apmod m

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