Calcule as derivadas parciais de 1^ a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
lllll e(x, y)=y^x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
e(x,y)=y^x.
O conteúdo envolvido é diferenciação parcial de uma função em que a variável está tanto na base quanto no expoente, exigindo uso da reescrita em termos de exponencial e do “power rule”.

Passo 2

Para que y^x seja bem definida e real usamos a reescrita
y^x = e^xln y,
o que requer ln y real, isto é,
y>0
Logo o domínio da função (e das derivadas) é
D = (x,y)inRtimesRmid y>0

Passo 3

Para calcular partial epartial x reescrevemos
e(x,y)=e^xln y
e aplicamos a regra da cadeia em x:
partial epartial x = e^xln ycdotln y = y^xln y

Passo 4

Para calcular partial epartial y usamos a forma y^x e o “power rule” em y, tratando x como constante:
partial epartial y = x,y^x-1

Passo 5

Como ambas as fórmulas
partial epartial x=y^xln y, partial epartial y=x,y^x-1
exigem y>0 para estarem definidas, o domínio das derivadas coincide com o domínio da função, ou seja,
D=(x,y)inRtimes(0,infty)

Resposta

partial epartial x=y^xln y, partial epartial y=x,y^x-1, domínio D=Rtimes(0,infty).

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