Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^{2}-x-2|

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o módulo de lvert x^2-x-2rvert usando estudo de sinais. O conteúdo aqui é valor absoluto de um polinômio do 2º grau, e vamos precisar encontrar onde
f(x)=x^2-x-2
é positivo ou negativo.

Passo 2

Para fazer o estudo de sinais, primeiro determinamos as raízes de
x^2-x-2=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
x=1pmraiz1+82=1pm32,
logo as raízes são
x1=-1 e x2=2

Passo 3

Sabendo que f(x) é um polinômio de grau 2 com coeficiente de x^2 positivo, a parábola abre para cima. Portanto:
  • Para x < -1, f(x) > 0.
  • Para -1 < x < 2, f(x) < 0.
  • Para x > 2, f(x) > 0.
    Em x = -1 e x = 2, f(x) = 0.

Passo 4

Como por definição
lvert f(x)rvert = f(x), & f(x)>=0, -,f(x), & f(x)<0,
substituímos o sinal de f(x) em cada intervalo:
Para x<=-1 ou x>=2, f(x)>=0 e
lvert x^2-x-2rvert = x^2-x-2
Para -1<x<2, f(x)<0 e
lvert x^2-x-2rvert = -l(x^2-x-2r) = -x^2+x+2

Resposta

Para todo xinR vale
lvert x^2-x-2rvert= x^2-x-2, & x<=-1 ou x>=2, -x^2+x+2,& -1<x<2

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