Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
e também quer o domínio de
e das derivadas. Para isso usaremos as regras de derivada de função composta (cadeia) e derivada de um produto.
Passo 2
Para que
esteja bem definida precisamos de
pois o argumento do
deve ser positivo. Logo o domínio de
é
Passo 3
Para calcular
tratamos como constante e aplicamos a regra da cadeia em
:
tratamos
Portanto,
Passo 4
Para calcular
vemos como produto
. Aplicamos a regra do produto:
vemos
- Derivada de
dá , multiplicada por . - Mantém-se
vezes a derivada de em relação a , que é
.
Somando os termos:
Passo 5
As expressões de
e
só apresentam singularidade quando
, ou seja, exatamente no ponto
, que já está fora do domínio de
. Portanto o domínio de ambas as derivadas coincide com
.