Calcule as derivadas parciais de 1^ a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
lllll f(x, y)=y^3 ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=y^3lnl(x^2+y^2r)
e também quer o domínio de f e das derivadas. Para isso usaremos as regras de derivada de função composta (cadeia) e derivada de um produto.

Passo 2

Para que f esteja bem definida precisamos de
x^2+y^2>0
pois o argumento do ln deve ser positivo. Logo o domínio de f é
D=(x,y)inR^2mid x^2+y^2>0

Passo 3

Para calcular
partial fpartial x
tratamos y^3 como constante e aplicamos a regra da cadeia em ln(x^2+y^2):
partialpartial xlnl(x^2+y^2r) =1x^2+y^2cdot 2x
Portanto,
partial fpartial x = y^3,2xx^2+y^2 = 2x,y^3x^2+y^2

Passo 4

Para calcular
partial fpartial y
vemos f como produto y^3cdot ln(x^2+y^2). Aplicamos a regra do produto:
  1. Derivada de y^3 3y^2, multiplicada por ln(x^2+y^2).
  2. Mantém-se y^3 vezes a derivada de ln(x^2+y^2) em relação a y, que é
    1x^2+y^2cdot 2y.
    Somando os termos:
partial fpartial y = 3y^2lnl(x^2+y^2r) + y^3,2yx^2+y^2 = 3y^2lnl(x^2+y^2r) + 2y^4x^2+y^2

Passo 5

As expressões de partial f/partial x e partial f/partial y só apresentam singularidade quando x^2+y^2=0, ou seja, exatamente no ponto (0,0), que já está fora do domínio de f. Portanto o domínio de ambas as derivadas coincide com D.

Resposta

D=(x,y)inR^2mid x^2+y^2>0,
partial fpartial x(x,y) = 2x,y^3x^2+y^2,
partial fpartial y(x,y) = 3y^2lnl(x^2+y^2r) + 2y^4x^2+y^2

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