5^(x-1)+5 x=30

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial/mista
5^(x-1) + 5x = 30
Este é um problema de encontrar a raiz de uma função que mistura exponencial e termo linear. Vamos usar o método de Newton–Raphson para achar a solução numérica.

Passo 2

Primeiro vamos definir a função
f(x) = 5^(x-1) + 5x - 30
e sua derivada, pois o método de Newton exige ambas. Usamos a regra da cadeia para o termo exponencial:
f'(x) = 5^(x-1) ln 5 + 5
O método de Newton atualiza a aproximação via
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Escolhemos um chute inicial razoável, por exemplo x0 = 3, já que testamos mentalmente valores inteiros e vimos que a solução fica entre 2 e 3.

Passo 3

Na primeira iteração usamos x0 = 3:
f(3) = 5^2 + 15 - 30 = 25 + 15 - 30 = 10
f'(3) = 5^2 ln 5 + 5 = 25 cdot 1.609 + 5 approx 40.23 + 5 = 45.23
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x1 = 3 - 1045.23 approx 2.779

Passo 4

Na segunda iteração com x1 approx 2.779:
f(2.779) = 5^1.779 + 5 cdot 2.779 - 30 approx 17.50 + 13.895 - 30 = 1.395
f'(2.779) = 5^1.779 ln 5 + 5 approx 17.50 cdot 1.609 + 5 = 28.17 + 5 = 33.17
x2 = 2.779 - 1.39533.17 approx 2.738

Passo 5

Terceira iteração com x2 approx 2.738 já dá uma boa convergência:
f(2.738) = 5^1.738 + 5 cdot 2.738 - 30 approx 16.41 + 13.69 - 30 = 0.10
f'(2.738) = 5^1.738 ln 5 + 5 approx 16.41 cdot 1.609 + 5 = 31.42
x3 = 2.738 - 0.1031.42 approx 2.735
Com isso, a raiz está bem aproximada.

Passo 6

Nesta última iteração a correção ficou menor que 0.001, indicando que alcançamos a precisão desejada.

Resposta

A solução da equação é aproximadamente x approx 2.735.

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