Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^{3}-2 x^{2}-5 x+6|
Passo 1
O enunciado pede para eliminar o módulo de usando estudo de sinais. Vamos precisar fatorar o polinômio, identificar suas raízes e analisar o sinal de cada fator em intervalos determinados por essas raízes.
Passo 2
Começamos fatorando o polinômio . Testando vemos
logo é fator. Divide-se por e obtém-se o quociente
que por sua vez fatora como . Portanto
Passo 3
As raízes de são os valores que anulam cada fator:
Essas raízes particionam a reta em quatro intervalos:
Passo 4
Agora determinamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
Para : \quad\Rightarrow\quad produto de três negativos é negativo.
Para : \quad\Rightarrow\quad .
Para : \quad\Rightarrow\quad .
Para : \quad\Rightarrow\quad .
Passo 5
Como é p(x) quando p(x)>=0 e -p(x) quando p(x)<0, concluímos:
Para x< -2: p(x)<0, então
l|x^3-2x^2-5x+6r| = -l(x^3-2x^2-5x+6r)
Para -2<= x<= 1: p(x)>=0, então
l|x^3-2x^2-5x+6r| = x^3-2x^2-5x+6
Para 1<= x<= 3: p(x)<0, então
l|x^3-2x^2-5x+6r| = -l(x^3-2x^2-5x+6r)
Para x>= 3: p(x)>=0, então
l|x^3-2x^2-5x+6r| = x^3-2x^2-5x+6
Resposta
Para eliminar o módulo temos
l|x^3-2x^2-5x+6r| = -(x^3-2x^2-5x+6), & x < -2, [6pt] ;x^3-2x^2-5x+6, & -2 <= x <= 1, [6pt] -(x^3-2x^2-5x+6), & 1 <= x <= 3, [6pt] ;x^3-2x^2-5x+6, & x >= 3 ]