Utilize estudo de sinais para eliminar o módulo das seguintes expressões:
|x^{3}-2 x^{2}-5 x+6|

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o módulo de x^3-2x^2-5x+6 usando estudo de sinais. Vamos precisar fatorar o polinômio, identificar suas raízes e analisar o sinal de cada fator em intervalos determinados por essas raízes.

Passo 2

Começamos fatorando o polinômio p(x)=x^3-2x^2-5x+6. Testando x=1 vemos
1^3-2cdot1^2-5cdot1+6=1-2-5+6=0,
logo (x-1) é fator. Divide-se p(x) por (x-1) e obtém-se o quociente
x^2-x-6,
que por sua vez fatora como (x-3)(x+2). Portanto
p(x)=(x-1)(x-3)(x+2)

Passo 3

As raízes de p(x) são os valores que anulam cada fator:
x=-2, x=1, x=3
Essas raízes particionam a reta em quatro intervalos:
(-infty,-2),(-2,1),(1,3),(3,infty)

Passo 4

Agora determinamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
Para x < -2:
x+2 < 0,; x-1 < 0,; x-3 < 0\quad\Rightarrow\quad produto de três negativos é negativo.
Para -2 < x < 1:
x+2 > 0,; x-1 < 0,; x-3 < 0\quad\Rightarrow\quad + times - times - = +.
Para 1 < x < 3:
x+2 > 0,; x-1 > 0,; x-3 < 0\quad\Rightarrow\quad + times + times - = -.
Para x > 3:
x+2 > 0,; x-1 > 0,; x-3 > 0\quad\Rightarrow\quad + times + times + = +.

Passo 5

Como l|p(x)r| é p(x) quando p(x)>=0 e -p(x) quando p(x)<0, concluímos:
Para x< -2: p(x)<0, então
l|x^3-2x^2-5x+6r| = -l(x^3-2x^2-5x+6r)
Para -2<= x<= 1: p(x)>=0, então
l|x^3-2x^2-5x+6r| = x^3-2x^2-5x+6
Para 1<= x<= 3: p(x)<0, então
l|x^3-2x^2-5x+6r| = -l(x^3-2x^2-5x+6r)
Para x>= 3: p(x)>=0, então
l|x^3-2x^2-5x+6r| = x^3-2x^2-5x+6

Resposta

Para eliminar o módulo temos
l|x^3-2x^2-5x+6r| = -(x^3-2x^2-5x+6), & x < -2, [6pt] ;x^3-2x^2-5x+6, & -2 <= x <= 1, [6pt] -(x^3-2x^2-5x+6), & 1 <= x <= 3, [6pt] ;x^3-2x^2-5x+6, & x >= 3 ]

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