Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
a(x, y)=7 x y^{4}+5 x^{2}+\frac{1}{3} y^{3}-1

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
a(x,y)=7,x,y^4+5,x^2+tfrac13,y^3-1
e quer também o domínio da função e das derivadas. O conteúdo aqui é diferenciação parcial de polinômios em duas variáveis.

Passo 2

Como a(x,y) é soma de monômios em x e y (potências inteiras e constantes), ela está bem definida para todos os pares reais (x,y). Logo, o domínio da função e das suas derivadas parciais é
R^2

Passo 3

Para obter partial apartial x, tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x.
  • De 7,x,y^4 vem 7,y^4.
  • De 5,x^2 vem 10,x.
  • Os demais termos não dependem de x e viram zero.
partial apartial x(x,y) =7,y^4+10,x

Passo 4

Para obter partial apartial y, tratamos x como constante e diferenciamos em relação a y.
  • De 7,x,y^4 vem 28,x,y^3.
  • De tfrac13,y^3 vem y^2.
  • Os demais termos não dependem de y e viram zero.
partial apartial y(x,y) =28,x,y^3+y^2

Resposta

Domínio da função e das derivadas: R^2
partial apartial x(x,y)=7,y^4+10,x, partial apartial y(x,y)=28,x,y^3+y^2

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