Encontre a derivada.
F(x)=integral0^1 / x sen^4 t d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(x)=integral0^1/xsin^4 t,dt
e pede F'(x). O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo aplicado a um limite de integração dependente de x e a regra da cadeia para derivar esse limite.

Passo 2

Vamos identificar
f(t)=sin^4 t e u(x)=1x,
de modo que
F(x)=integral0^u(x)f(t),dt

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=ddx!l(tfrac1xr) =-1x^2

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo com limite variável e regra da cadeia,
F'(x) =fl(u(x)r),u'(x) =sin^4!l(tfrac1xr),l(-1x^2r) =-sin^4!l(tfrac1xr)x^2

Resposta

F'(x)=-sin^4!l(tfrac1xr)x^2

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