Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
b(x, y)=\left(7 x-3 y{2}\right){8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
b(x,y) = l(7x - 3y^2r)^8
e determinar o domínio da função e das derivadas parciais. O conteúdo utilizado será derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

A expressão interna 7x - 3y^2 é um polinômio em (x,y), e elevá-la à oitava potência é bem definido para todo (x,y)inR^2. Portanto:
O domínio de b é R^2.
Como as derivadas parciais envolvem apenas operações polinomiais, elas também existem em todo R^2.

Passo 3

Para calcular partial bpartial x, usamos a regra da cadeia. Seja
u(x,y) = 7x - 3y^2, b = u^8
Então
partial bpartial x = 8,u^7cdotpartial upartial x = 8,(7x - 3y^2)^7 cdot 7 = 56,(7x - 3y^2)^7

Passo 4

Para calcular partial bpartial y, aplicamos a mesma ideia:
partial bpartial y = 8,u^7cdotpartial upartial y = 8,(7x - 3y^2)^7 cdot (-6y) = -48,y,(7x - 3y^2)^7

Resposta

Domínio da função b: R^2.
Domínio das derivadas parciais: R^2.
partial bpartial x(x,y) = 56,(7x - 3y^2)^7, partial bpartial y(x,y) = -48,y,(7x - 3y^2)^7

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