Questão 4 ( 0.5 ponto cada item) Calcule, se existir, os seguintes limites:
lim x 2 arctg(x^4-x^2-2 x6 x-12)

Passo 1

O enunciado pede
limxto2arctg!gl(x^4 - x^2 - 2x6x-12gr)
O conteúdo necessário é cálculo de limite de quociente que tende a infinito e, em seguida, uso da continuidade (estendida) da função arctg em +infty e -infty.

Passo 2

Observe o denominador e o numerador em x=2:
x^4 - x^2 - 2x|x=2 = 16 - 4 - 4 = 8 neq 0,
6x - 12 = 6(x-2)
Logo, perto de x=2 a fração se comporta como
x^4 - x^2 - 2x6x-12 = 8 + o(1)6(x-2) sim 86(x-2)

Passo 3

Analisando os dois lados de x=2:
limxto2^-x^4 - x^2 - 2x6x-12 = limxto2^-86(x-2) = -infty,
limxto2^+x^4 - x^2 - 2x6x-12 = limxto2^+86(x-2) = +infty

Passo 4

Sabendo que
limtto-inftyarctg t = -pi2, limtto+inftyarctg t = pi2,
temos
limxto2^-arctg!l(tfracx^4 - x^2 - 2x6x-12r) = -tfracpi2,
limxto2^+arctg!l(tfracx^4 - x^2 - 2x6x-12r) = tfracpi2

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes, o limite geral
limxto2arctg!l(tfracx^4 - x^2 - 2x6x-12r)
não existe.

Resposta

O limite não existe (os limites laterais valem -tfracpi2 e tfracpi2).

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