Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
d(u, t)=\frac{u^{3} t}{u^{2}+3 t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
d(u,t)=u^3tu^2+3t^2
além de determinar o domínio da própria função e das derivadas. Para isso vamos usar a regra do quociente e raciocinar onde o denominador não se anula.

Passo 2

Para que d(u,t) esteja bem definida precisamos de
u^2+3t^2neq0
Como u^2>=0 e 3t^2>=0, a soma só é zero se u=0 e t=0 simultaneamente. Logo o domínio de d é
(u,t)inR^2mid u^2+3t^2neq0
que equivale a R^2setminus(0,0).

Passo 3

Para calcular partial dpartial u use a regra do quociente: se N=u^3t e D=u^2+3t^2, então
partial dpartial u =D,partial Npartial u-N,partial Dpartial uD^2
Aqui
partial Npartial u=3u^2t, partial Dpartial u=2u,
logo
partial dpartial u =(u^2+3t^2),(3u^2t)-u^3t,(2u)(u^2+3t^2)^2 =3u^4t+9u^2t^3-2u^4t(u^2+3t^2)^2 =u^2t,(u^2+9t^2)(u^2+3t^2)^2

Passo 4

Para partial dpartial t aplicamos a mesma regra com
partial Npartial t=u^3, partial Dpartial t=6t
Assim
partial dpartial t =(u^2+3t^2),u^3-u^3t,(6t)(u^2+3t^2)^2 =u^5+3u^3t^2-6u^3t^2(u^2+3t^2)^2 =u^3,(u^2-3t^2)(u^2+3t^2)^2

Passo 5

Como as fórmulas das derivadas usam apenas soma, produto e quociente de funções polinomiais, elas existem exatamente onde u^2+3t^2neq0. Portanto, o domínio das derivadas parciais coincide com o domínio de d.

Resposta

partial dpartial u =u^2t,(u^2+9t^2)(u^2+3t^2)^2, partial dpartial t =u^3,(u^2-3t^2)(u^2+3t^2)^2,
Domínio da função e das derivadas:
(u,t)inR^2mid u^2+3t^2neq0

Exercícios relacionados