Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
d(u, t)=\frac{u^{3} t}{u^{2}+3 t^{2}}
d(u, t)=\frac{u^{3} t}{u^{2}+3 t^{2}}
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
além de determinar o domínio da própria função e das derivadas. Para isso vamos usar a regra do quociente e raciocinar onde o denominador não se anula.
Passo 2
Para que
esteja bem definida precisamos de
Como
e
, a soma só é zero se
e
simultaneamente. Logo o domínio de
é
que equivale a
.
Passo 3
Para calcular
use a regra do quociente: se
e
, então
Aqui
logo
Passo 4
Para
aplicamos a mesma regra com
Assim
Passo 5
Como as fórmulas das derivadas usam apenas soma, produto e quociente de funções polinomiais, elas existem exatamente onde
. Portanto, o domínio das derivadas parciais coincide com o domínio de
.
Resposta
Domínio da função e das derivadas: