Encontre a derivada.
F(x)=integraltan x^3 e^t1+t d t

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada de
F(x)=integraltan x^3e^t1+t,dt
O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo na forma que envolve limites de integração dependentes de x, junto com a Regra da Cadeia para diferenciar essa dependência.

Passo 2

Vamos identificar as partes:
limite inferior: u(x)=tan x, limite superior: v(x)=3 (constante), integrando: f(t)=e^t1+t
Assim podemos ver
F(x)=integralu(x)^v(x)f(t),dt

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e Regra da Cadeia, se
G(x)=integralu(x)^v(x)f(t),dt,
então
G'(x)=f(v(x)),v'(x)-f(u(x)),u'(x)
No nosso caso v(x)=3 é constante, logo v'(x)=0, e só sobra o termo com u(x)=tan x:
F'(x)=-fl(tan xr),ddxl(tan xr)

Passo 4

Calculando cada parte:
fl(tan xr)=e^tan x1+tan x, ddx(tan x)=sec^2 x
Portanto
F'(x)=-e^tan x1+tan x,sec^2 x

Resposta

F'(x)=-e^tan x,sec^2 x1+tan x

Exercícios relacionados