Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
g(r, s)=\arctan \left(r s^{2}\right)
g(r, s)=\arctan \left(r s^{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
e determinar o domínio da própria função e das derivadas. Para isso vamos usar a regra da cadeia e o fato de que
está definido para todo
.
Passo 2
Para achar o domínio de
, observamos que o argumento de
é
, que é um número real para quaisquer
. Como
é definido para todo
, temos
Passo 3
Para calcular
usamos a regra da cadeia. Se
, então
Logo
Passo 4
Para calcular
fazemos o mesmo:
de onde
Passo 5
Para verificar o domínio das derivadas, note que o denominador
é sempre maior que zero para todos
. Logo não há pontos de descontinuidade nas derivadas.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são
O domínio da função
e o domínio das derivadas parciais é
.