Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
g(r, s)=\arctan \left(r s^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
g(r,s)=arctanl(r,s^2r)
e determinar o domínio da própria função e das derivadas. Para isso vamos usar a regra da cadeia e o fato de que arctan(u) está definido para todo uinR.

Passo 2

Para achar o domínio de g, observamos que o argumento de arctan é u=r,s^2, que é um número real para quaisquer r,sinR. Como arctan(u) é definido para todo uinR, temos
Domínio de g = R^2 í

Passo 3

Para calcular partial gpartial r(r,s) usamos a regra da cadeia. Se u(r,s)=r,s^2, então
partialpartial rarctan(u) =11+u^2,partial upartial r =11+(r,s^2)^2cdot s^2
Logo
partial gpartial r(r,s) =s^21+(r,s^2)^2

Passo 4

Para calcular partial gpartial s(r,s) fazemos o mesmo:
partialpartial sarctan(u) =11+u^2,partial upartial s =11+(r,s^2)^2cdot(2r,s),
de onde
partial gpartial s(r,s) =2r,s1+(r,s^2)^2

Passo 5

Para verificar o domínio das derivadas, note que o denominador 1+(r,s^2)^2 é sempre maior que zero para todos r,sinR. Logo não há pontos de descontinuidade nas derivadas.

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são
partial gpartial r(r,s) =s^21+(r,s^2)^2, partial gpartial s(r,s) =2r,s1+(r,s^2)^2
O domínio da função g e o domínio das derivadas parciais é R^2.

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