Encontre a derivada.
F(x)=integraltan x^x^2 1raiz1+t^4 d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=integraltan x^,x^21raiz1+t^4,dt
O conteúdo principal aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo com limites de integração dependentes de x (regra de Leibniz).

Passo 2

Definimos a função sob o integrando como
f(t)=1raiz1+t^4
Pela regra de Leibniz, se
F(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt,
então
F'(x)=fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

No nosso caso, a(x)=tan x e b(x)=x^2. Calculamos
a'(x)=ddxtan x=sec^2x,
b'(x)=ddxx^2=2x

Passo 4

Substituindo em
F'(x)=fl(x^2r)cdot2x ;-; fl(tan xr)cdotsec^2x
temos
fl(x^2r)=1raiz1+(x^2)^4 =1raiz1+x^8,
fl(tan xr) =1raiz1+(tan x)^4
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F'(x) =2xraiz1+x^8 ;-; sec^2xraiz1+tan^4x

Resposta

F'(x) =2xraiz1+x^8 ;-; sec^2xraiz1+tan^4x

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