Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
j(x, y)=y / x
j(x, y)=y / x
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
e que a gente determine o domínio de
e das suas derivadas. Para isso vamos usar a regra do quociente (ou, equivalentemente, tratar
como
) e lembrar que, em parcial, uma variável é vista como constante enquanto derivamos em relação à outra.
Passo 2
Para começar, o domínio natural de
é o conjunto de todos os pares
que não anulam o denominador. Logo,
Passo 3
Agora vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante. Escrevendo
aplicamos a regra de potenciais:
Passo 4
Em seguida, a derivada parcial em relação a
trata
como constante. Como
é linear em
, basta diferenciar
por
e dividir por
(constante):
Passo 5
Para verificar o domínio das derivadas, observe que
e
exigem também
. Não surge nenhuma nova restrição além de
. Portanto,