Calcule as derivadas parciais de 1^a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
j(x, y)=y / x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
j(x,y)=yx
e que a gente determine o domínio de j e das suas derivadas. Para isso vamos usar a regra do quociente (ou, equivalentemente, tratar tfrac yx como ycdot x^-1) e lembrar que, em parcial, uma variável é vista como constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Para começar, o domínio natural de
j(x,y)=yx
é o conjunto de todos os pares (x,y)inR^2 que não anulam o denominador. Logo,
Dom(j)=l(x,y)inR^2mid xneq 0r

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada parcial de j em relação a x, tratando y como constante. Escrevendo
j(x,y)=ycdot x^-1,
aplicamos a regra de potenciais:
partial jpartial x = ycdot(-1),x^-2 = -yx^2

Passo 4

Em seguida, a derivada parcial em relação a y trata x como constante. Como
j(x,y)=yx
é linear em y, basta diferenciar y por y e dividir por x (constante):
partial jpartial y =1x

Passo 5

Para verificar o domínio das derivadas, observe que -tfrac yx^2 e tfrac1x exigem também xneq0. Não surge nenhuma nova restrição além de xneq0. Portanto,
Doml(tfracpartial jpartial xr) =Doml(tfracpartial jpartial yr) =l(x,y)inR^2mid xneq0r

Resposta

Dom(j)=(x,y)inR^2mid xneq0
partial jpartial x(x,y)=-yx^2, partial jpartial y(x,y)=1x
Doml(tfracpartial jpartial xr) =Doml(tfracpartial jpartial yr) =(x,y)inR^2mid xneq0

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