(a) Mostre que
integral0^pi x f(sen(x)) d x=pi2 integral0^pi f(sen(x)) d x
Dica: Considere u=pi-x.
(b) Use o item acima para deduzir
integral0^pi x sin x1+cos ^2 x d x=pi integral0^pi d x1+x^2

Passo 1

Vamos entender o que o item (a) pede. Temos uma função genérica f e queremos mostrar que, no intervalo de integração de 0 a pi, o peso x pode ser “trocado” pela constante pi/2. Ou seja, definir
I=integral0^pix,fl(sin xr),dx
e provar
I=pi2integral0^pifl(sin xr),dx
O truque básico será usar a substituição de simetria u=pi-x.

Passo 2

Aplicando a mudança de variável u=pi-x em I, temos quando x vai de 0 a pi, então u também vai de pi a 0; como dx=-du e sin x=sin u,
I=integral0^pix,f(sin x),dx =integralpi^0(pi-u),f(sin u),(-du) =integral0^pi(pi-u),f(sin u),du
Mas essa última integral, em relabelar uto x, vale
I=integral0^pi(pi-x),f(sin x),dx

Passo 3

Agora somamos as duas expressões de I:
I + I =integral0^pix,f(sin x),dx +integral0^pi(pi-x),f(sin x),dx =integral0^pipi,f(sin x),dx =piintegral0^pif(sin x),dx
Logo
2I=piintegral0^pif(sin x),dx Longrightarrow I=pi2integral0^pif(sin x),dx,
que é exatamente o que queríamos provar.

Passo 4

No item (b) escolhemos
fl(sin xr) =sin x1+cos^2 x
Pelo resultado do item (a),
integral0^pix,sin x1+cos^2 x,dx =pi2integral0^pisin x1+cos^2 x,dx

Passo 5

Falta agora calcular
J=integral0^pisin x1+cos^2 x,dx
Use u=cos x, então du=-sin x,dx. Quando x vai de 0 a pi, u vai de 1 a -1. Assim
J =integral0^pisin x1+cos^2 x,dx =integral1^-1-,du1+u^2 =integral-1^1du1+u^2 =2integral0^1du1+u^2

Passo 6

Substituindo em (b),
integral0^pix,sin x1+cos^2 x,dx =pi2;J =pi2;2integral0^1du1+u^2 =piintegral0^1du1+u^2

Resposta

integral0^pix,sin x1+cos^2 x,dx =piintegral0^1du1+u^2

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