(a) Mostre que
Dica: Considere
.
(b) Use o item acima para deduzir
(b) Use o item acima para deduzir
Passo 1
Vamos entender o que o item (a) pede. Temos uma função genérica
e queremos mostrar que, no intervalo de integração de
a
, o peso
pode ser “trocado” pela constante
. Ou seja, definir
e provar
O truque básico será usar a substituição de simetria
.
Passo 2
Aplicando a mudança de variável
em
, temos quando
vai de
a
, então
também vai de
a
; como
e
,
Mas essa última integral, em relabelar
, vale
Passo 3
Agora somamos as duas expressões de
:
Logo
que é exatamente o que queríamos provar.
Passo 4
No item (b) escolhemos
Pelo resultado do item (a),
Passo 5
Falta agora calcular
Use
, então
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Passo 6
Substituindo em (b),