Calcule as derivadas parciais de 2^{a} ordem das funções abaixo:
z=\operatorname{arctg}\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
z=\operatorname{arctg}\!\big(x^{2}+y^{2}\big)
e pede as derivadas parciais de segunda ordem. Ou seja, devemos calcular z_{xx}, z_{yy} e z_{xy} (e z_{yx}, que deve ser igual a z_{xy} se as derivadas forem contínuas).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
\text{o variável dependente: } z;\qquad \text{as variáveis independentes: } x,y;áá
\text{o argumento da arctg: } u(x,y)=x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Antes de derivar, vamos recapitular duas regras que vamos usar — explicadinhas e passo a passo.
  1. Derivada da função composta arctg: se z=\operatorname{arctg}(u) com u dependente de x e y, então, pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui a fórmula vem do fato de que \dfrac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Cada \partial u/\partial x e \partial u/\partial y é a derivada parcial do argumento.
  1. Para derivadas de segunda ordem usaremos a regra do produto/quotient quando necessário. A forma prática que usarei é a do quociente: se f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} então
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}.
No caso multivariável aplicamos essa ideia derivando parcialmente em relação à variável desejada, tendo sempre atenção ao que é tratado como constante.

Passo 3

Calculemos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Defina
u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Então
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Aplicando a regra da cadeia para \operatorname{arctg}:
z_{x}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot u_{x}=\frac{2x}{1+(x^{2}+y^{2})^{2}},
z_{y}=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot u_{y}=\frac{2y}{1+(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Ótimo — tínhamos algo simples: z_{x}=2x/(1+r^{2}) e z_{y}=2y/(1+r^{2}), onde vou chamar r=x^{2}+y^{2} para simplificar a escrita nas próximas contas.

Passo 4

Agora vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro explico a estratégia para z_{xx}: usar o quociente, derivando z_{x}=\dfrac{2x}{1+r^{2}} em relação a x. Aqui r=r(x,y)=x^{2}+y^{2}. Quando derivamos em relação a x, y é tratado como constante, mas r depende de x via r_{x}=2x.
Usarei a fórmula do quociente com
N(x,y)=2x,\qquad D(x,y)=1+r^{2}=1+(x^{2}+y^{2})^{2}.
Então
z_{xx}=\frac{N_{x}D-N D_{x}}{D^{2}}.

Passo 5

Calculemos z_{xx} passo a passo.
Primeiro as derivadas necessárias:
N_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2.
D_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(1+r^{2}\big)=2r\cdot r_{x}=2r\cdot(2x)=4xr.
Agora aplique o quociente:
z_{xx}=\frac{2(1+r^{2})-(2x)(4xr)}{(1+r^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
2(1+r^{2})-8x^{2}r.
Substituindo r=x^{2}+y^{2} explicitamente, obtemos
z_{xx}=\frac{2+2(x^{2}+y^{2})^{2}-8x^{2}(x^{2}+y^{2})}{\big(1+(x^{2}+y^{2})^{2}\big)^{2}}.

Passo 6

Agora z_{yy}. Por simetria o cálculo é análogo trocando x por y. Começamos de z_{y}=\dfrac{2y}{1+r^{2}}. Usando o quociente com N=2y e D=1+r^{2}:
N_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2,
D_{y}=2r\cdot r_{y}=2r\cdot(2y)=4yr.
Então
z_{yy}=\frac{2(1+r^{2})-(2y)(4yr)}{(1+r^{2})^{2}}=\frac{2+2r^{2}-8y^{2}r}{(1+r^{2})^{2}}.
Substituindo r=x^{2}+y^{2}:
z_{yy}=\frac{2+2(x^{2}+y^{2})^{2}-8y^{2}(x^{2}+y^{2})}{\big(1+(x^{2}+y^{2})^{2}\big)^{2}}.

Passo 7

Agora o derivado misto z_{xy}. Podemos derivar z_{x}=\dfrac{2x}{1+r^{2}} em relação a y. Aqui x é constante e r depende de y via r_{y}=2y.
Usando o quociente com N=2x (nesse caso N_{y}=0 porque x é constante ao derivar por y) e D=1+r^{2} com D_{y}=4yr, obtemos:
z_{xy}=\frac{0\cdot D-(2x)(4yr)}{D^{2}}=-\frac{8xyr}{(1+r^{2})^{2}}.
Substituindo r=x^{2}+y^{2}:
z_{xy}=-\frac{8xy(x^{2}+y^{2})}{\big(1+(x^{2}+y^{2})^{2}\big)^{2}}.

Passo 8

Uma observação final de verificação: por simetria da função (e porque as derivadas são contínuas para todo (x,y)), devemos ter z_{xy}=z_{yx}. Se derivássemos z_{y} em relação a x obteríamos o mesmo resultado, confirmando a igualdade.

Resposta

z_{xx}=\frac{2+2(x^{2}+y^{2})^{2}-8x^{2}(x^{2}+y^{2})}{\bigl(1+(x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)^{2}}
z_{yy}=\frac{2+2(x^{2}+y^{2})^{2}-8y^{2}(x^{2}+y^{2})}{\bigl(1+(x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)^{2}}
z_{xy}=z_{yx}=-\frac{8xy(x^{2}+y^{2})}{\bigl(1+(x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)^{2}}

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