Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de segunda ordem. Ou seja, devemos calcular
,
e
(e
, que deve ser igual a
se as derivadas forem contínuas).
Informações relevantes que já temos do enunciado:
Passo 2
Antes de derivar, vamos recapitular duas regras que vamos usar — explicadinhas e passo a passo.
- Derivada da função composta arctg: se
com dependente de e , então, pela regra da cadeia,
Aqui a fórmula vem do fato de que
. Cada
e
é a derivada parcial do argumento.
- Para derivadas de segunda ordem usaremos a regra do produto/quotient quando necessário. A forma prática que usarei é a do quociente: se
então
No caso multivariável aplicamos essa ideia derivando parcialmente em relação à variável desejada, tendo sempre atenção ao que é tratado como constante.
Passo 3
Calculemos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem. Defina
Então
Aplicando a regra da cadeia para
:
Ótimo — tínhamos algo simples:
e
, onde vou chamar
para simplificar a escrita nas próximas contas.
Passo 4
Agora vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro explico a estratégia para
: usar o quociente, derivando
em relação a
. Aqui
. Quando derivamos em relação a
,
é tratado como constante, mas
depende de
via
.
Usarei a fórmula do quociente com
Então
Passo 5
Calculemos
passo a passo.
Primeiro as derivadas necessárias:
Agora aplique o quociente:
Simplificando o numerador:
Substituindo
explicitamente, obtemos
Passo 6
Agora
. Por simetria o cálculo é análogo trocando
por
. Começamos de
. Usando o quociente com
e
:
Então
Substituindo
:
Passo 7
Agora o derivado misto
. Podemos derivar
em relação a
. Aqui
é constante e
depende de
via
.
Usando o quociente com
(nesse caso
porque
é constante ao derivar por
) e
com
, obtemos:
Substituindo
:
Passo 8
Uma observação final de verificação: por simetria da função (e porque as derivadas são contínuas para todo
), devemos ter
. Se derivássemos
em relação a
obteríamos o mesmo resultado, confirmando a igualdade.