O potencial elétrico no ponto ( x, y, z ) é dado por: V(x, y, z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, onde V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variação instantânea de V em relação à distância em (1,2,3) na direção do:
eixo dos x;
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
em volts, com x,y,z em centímetros. Pede-se a taxa de variação instantânea de V em relação à distância no ponto (1,2,3) na direção do eixo dos x.
Informações relevantes:
V(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad\text{o ponto }(1,2,3),
e a direção pedida é a do eixo dos x, cujo vetor de direção é (1,0,0).
Passo 2
O que significa "taxa de variação instantânea de V em relação à distância na direção do eixo x"? Significa a derivada direcional de V na direção do vetor unitário correspondente ao eixo x.
Fatos úteis e fórmulas (explicadas de forma simples):
A derivada direcional de uma função V na direção de um vetor unitário u é o produto escalar entre o gradiente de V e u:
D_{u}V=\nabla V\cdot u.
O gradiente \nabla V é o vetor das derivadas parciais:
Unidade: como V está em volts e x em centímetros, a taxa de variação em relação à distância tem unidade volts por centímetro, isto é, \text{V/cm}. O sinal positivo indica que V aumenta quando nos deslocamos no sentido positivo de x.
Passo 5
Checagem rápida (opcional): se preferir, poderia derivar usando V=x(r^{2})^{-1} e a regra do produto: \partial_x V = 1\cdot r^{-2} + x\cdot(-2r^{-4}\cdot x), que leva à mesma expressão (r^{2}-2x^{2})/r^{4}. Então o resultado está consistente.