O potencial elétrico no ponto ( x, y, z ) é dado por: V(x, y, z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, onde V é dado em volts e x, y e z em cm. Determine a taxa de variação instantânea de V em relação à distância em (1,2,3) na direção do:
eixo dos x;

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
em volts, com x,y,z em centímetros. Pede-se a taxa de variação instantânea de V em relação à distância no ponto (1,2,3) na direção do eixo dos x.
Informações relevantes:
V(x,y,z)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\qquad\text{o ponto }(1,2,3),
e a direção pedida é a do eixo dos x, cujo vetor de direção é (1,0,0).

Passo 2

O que significa "taxa de variação instantânea de V em relação à distância na direção do eixo x"? Significa a derivada direcional de V na direção do vetor unitário correspondente ao eixo x.
Fatos úteis e fórmulas (explicadas de forma simples):
  • A derivada direcional de uma função V na direção de um vetor unitário u é o produto escalar entre o gradiente de V e u:
D_{u}V=\nabla V\cdot u.
  • O gradiente \nabla V é o vetor das derivadas parciais:
\nabla V=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}\right).
  • Para a direção do eixo x usamos o vetor unitário
u=(1,0,0),
logo a derivada direcional nessa direção é simplesmente a derivada parcial em relação a x:
D_{(1,0,0)}V=\frac{\partial V}{\partial x}.
(Em outras palavras: variar na direção positiva de x mantendo y e z constantes.)

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{\partial V}{\partial x} passo a passo. Para simplificar, defina
r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
então
V=\frac{x}{r^{2}}.
Usamos a regra do quociente (ou a regra do produto escrevendo V=x\cdot (r^{2})^{-1}). Pela regra do quociente:
\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{( \partial/\partial x \; x)\cdot r^{2} - x\cdot (\partial/\partial x \; r^{2})}{(r^{2})^{2}}.
Agora calcule as partes:
  • \partial/\partial x\; x = 1.
  • \partial/\partial x\; r^{2} = \partial/\partial x\; (x^{2}+y^{2}+z^{2}) = 2x (pois y e z são tratados como constantes aqui).
Substituindo:
\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{1\cdot r^{2} - x\cdot 2x}{r^{4}}=\frac{r^{2}-2x^{2}}{r^{4}}.

Passo 4

Agora avaliamos em (1,2,3). Primeiro calcule r^{2} nesse ponto:
r^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}=1+4+9=14.
Substituindo em \dfrac{\partial V}{\partial x}:
\left.\frac{\partial V}{\partial x}\right|_{(1,2,3)}=\frac{14-2\cdot 1^{2}}{14^{2}}=\frac{14-2}{196}=\frac{12}{196}.
Simplificando a fração dividindo por 4:
\frac{12}{196}=\frac{3}{49}.
Unidade: como V está em volts e x em centímetros, a taxa de variação em relação à distância tem unidade volts por centímetro, isto é, \text{V/cm}. O sinal positivo indica que V aumenta quando nos deslocamos no sentido positivo de x.

Passo 5

Checagem rápida (opcional): se preferir, poderia derivar usando V=x(r^{2})^{-1} e a regra do produto: \partial_x V = 1\cdot r^{-2} + x\cdot(-2r^{-4}\cdot x), que leva à mesma expressão (r^{2}-2x^{2})/r^{4}. Então o resultado está consistente.

Resposta

\dfrac{3}{49}\\ \text{V/cm}

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