Calcule as derivadas parciais de
ordem das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de 2ª ordem da função dada.
Informações fornecidas: a função é .
As derivadas de 2ª ordem que precisamos encontrar são:
Informações fornecidas: a função é
As derivadas de 2ª ordem que precisamos encontrar são:
Passo 2
Conceito importante antes de começar: a derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo
) é a derivada considerando a outra variável (
) como constante. Notação comum:
e
.
Também uso duas regras básicas de diferenciação:
Também uso duas regras básicas de diferenciação:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Além disso, quando temos produto de uma função que depende só depor outra que depende só de , ao derivar em a parte que depende de é tratada como constante (e vice-versa). Isso simplifica o uso do produto.
Passo 3
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
:
.
Aqui é tratada como constante (porque derivamos em
), então aplicamos a derivada de
:
Aqui
Explicação passo a passo: derivada de
é
, multiplicamos por
que é constante no processo.
Passo 4
Calcular a segunda derivada parcial em relação a
:
.
Novamente é constante ao derivar em
, e a derivada de
é
. Portanto:
Novamente
Comentário: aqui vimos que a função é tal que a derivada em
não muda ao derivar de novo em
; isso acontece porque a parte dependente de
é
.
Passo 5
Calcular a primeira derivada parcial em relação a
:
.
Agora é tratada como constante (porque derivamos em
), e a derivada de
em relação a
é
. Assim:
Agora
Explicação passo a passo: multiplicamos a constante
pela derivada de
.
Passo 6
Calcular a segunda derivada parcial em relação a
:
.
Aqui é constante ao derivar em
, e a derivada de
é
. Logo:
Aqui
Observação: o sinal negativo permanece porque vinha de
.
Passo 7
Calcular as derivadas parciais mistas. Podemos calcular
e
e verificar que são iguais (por teorema de Clairaut, quando a função é suficientemente suave, o que aqui é verdade).
Calcule
: partimos de
e derivamos em
:
Calcule
: partimos de
e derivamos em
:
Portanto
, como esperado.