Calcule as derivadas parciais de 2^{a} ordem das funções abaixo:
z=e^{x} \cdot \cos y

Passo 1

O enunciado pede: calcular as derivadas parciais de 2ª ordem da função dada.
Informações fornecidas: a função é z = e^{x}\cos y.
As derivadas de 2ª ordem que precisamos encontrar são:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}},\quad \frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y},\quad \frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x},\quad \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}.

Passo 2

Conceito importante antes de começar: a derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo x) é a derivada considerando a outra variável ( y) como constante. Notação comum: \frac{\partial z}{\partial x}=z_{x} e \frac{\partial z}{\partial y}=z_{y}.
Também uso duas regras básicas de diferenciação:
  1. Derivada de e^{x} em relação a x é e^{x}.
  2. Derivada de \cos y em relação a y é -\sin y.
    Além disso, quando temos produto de uma função que depende só de x por outra que depende só de y, ao derivar em x a parte que depende de y é tratada como constante (e vice-versa). Isso simplifica o uso do produto.

Passo 3

Calcular a primeira derivada parcial em relação a x: \displaystyle z_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\cos y\big).
Aqui \cos y é tratada como constante (porque derivamos em x), então aplicamos a derivada de e^{x}:
z_{x}=e^{x}\cos y.
Explicação passo a passo: derivada de e^{x} é e^{x}, multiplicamos por \cos y que é constante no processo.

Passo 4

Calcular a segunda derivada parcial em relação a x: \displaystyle z_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(z_{x}\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x}\cos y\big).
Novamente \cos y é constante ao derivar em x, e a derivada de e^{x} é e^{x}. Portanto:
z_{xx}=e^{x}\cos y.
Comentário: aqui vimos que a função é tal que a derivada em x não muda ao derivar de novo em x; isso acontece porque a parte dependente de x é e^{x}.

Passo 5

Calcular a primeira derivada parcial em relação a y: \displaystyle z_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y\big).
Agora e^{x} é tratada como constante (porque derivamos em y), e a derivada de \cos y em relação a y é -\sin y. Assim:
z_{y}=-e^{x}\sin y.
Explicação passo a passo: multiplicamos a constante e^{x} pela derivada de \cos y.

Passo 6

Calcular a segunda derivada parcial em relação a y: \displaystyle z_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(z_{y}\big)=\frac{\partial}{\partial y}\big(-e^{x}\sin y\big).
Aqui -e^{x} é constante ao derivar em y, e a derivada de \sin y é \cos y. Logo:
z_{yy}=-e^{x}\cos y.
Observação: o sinal negativo permanece porque vinha de z_{y}=-e^{x}\sin y.

Passo 7

Calcular as derivadas parciais mistas. Podemos calcular \displaystyle z_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(z_{x}\big) e \displaystyle z_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(z_{y}\big) e verificar que são iguais (por teorema de Clairaut, quando a função é suficientemente suave, o que aqui é verdade).
Calcule z_{xy}: partimos de z_{x}=e^{x}\cos y e derivamos em y:
z_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x}\cos y\big)=e^{x}(-\sin y)=-e^{x}\sin y.
Calcule z_{yx}: partimos de z_{y}=-e^{x}\sin y e derivamos em x:
z_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(-e^{x}\sin y\big)=-(e^{x})\sin y=-e^{x}\sin y.
Portanto z_{xy}=z_{yx}=-e^{x}\sin y, como esperado.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=e^{x}\cos y
\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}=-e^{x}\sin y
\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}=-e^{x}\sin y
\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=-e^{x}\cos y

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