\mathbf{3}^{\mathbf{a}} Questão: Encontre a derivada de y em relação a x:
f(x)=x^{3}-\frac{1}{3 x^{5}}+2 \sqrt{x}-\frac{3}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{3}-\frac{1}{3\,x^{5}}+2\sqrt{x}-\frac{3}{x}
em relação a x. O conteúdo aqui é aplicação da regra de derivação de soma e da regra de potência, que diz que
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos cada termo como potência de x:
f(x)=x^{3}-\frac{1}{3}x^{-5}+2\,x^{\tfrac12}-3\,x^{-1}.

Passo 3

Agora aplicamos a derivada termo a termo usando a regra de potência:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\quad \frac{d}{dx}\Bigl(-\tfrac{1}{3}x^{-5}\Bigr)=-\tfrac{1}{3}\cdot(-5)x^{-6}=\tfrac{5}{3}x^{-6},
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{\tfrac12}\bigr)=2\cdot\tfrac12\,x^{-\tfrac12}=x^{-\tfrac12},\quad \frac{d}{dx}\bigl(-3x^{-1}\bigr)=-3\cdot(-1)x^{-2}=3x^{-2}.

Passo 4

Juntando tudo, obtemos
f'(x)=3x^{2}+\tfrac{5}{3}x^{-6}+x^{-\tfrac12}+3x^{-2}.
Reescrevendo em forma de frações e raízes:
f'(x)=3x^{2}+\frac{5}{3x^{6}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x^{2}}.

Resposta

f'(x)=3x^{2}+\frac{5}{3x^{6}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{x^{2}}.

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