Calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=x^3+y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função
f(x,y)=x^3+y^2x^2+y^2
em relação a x e a y.
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente, que diz que, para
f(x,y)=u(x,y)v(x,y),
vale
partial fpartial x =partial upartial x,v - u,partial vpartial xv^2, partial fpartial y =partial upartial y,v - u,partial vpartial yv^2
Aqui vamos usar isso duas vezes, uma para cada variável.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=x^3+y^2, v(x,y)=x^2+y^2
Então
partial upartial x=3x^2, partial vpartial x=2x
Aplicando a regra do quociente em x,
partial fpartial x =3x^2(x^2+y^2) - (x^3+y^2)cdot 2x(x^2+y^2)^2
Distribuindo e simplificando o numerador,
3x^2x^2+3x^2y^2-2xcdot x^3-2x,y^2 =3x^4+3x^2y^2-2x^4-2xy^2 =x^4+y^2(3x^2-2x)
Logo,
partial fpartial x =x^4+y^2(3x^2-2x)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora em y:
partial upartial y=2y, partial vpartial y=2y
Pela regra do quociente,
partial fpartial y =2y,(x^2+y^2)-(x^3+y^2)cdot 2y(x^2+y^2)^2
No numerador temos
2yx^2+2y^3-2yx^3-2y^3 =2yx^2-2yx^3 =2yx^2(1-x)
Portanto,
partial fpartial y =2yx^2(1-x)(x^2+y^2)^2

Resposta

partial fpartial x =x^4+y^2(3x^2-2x)(x^2+y^2)^2, partial fpartial y =2yx^2(1-x)(x^2+y^2)^2

Exercícios relacionados