EXERCÍCIO 1: Use somas de riemann e Determine a área das integrais definidas por:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma integral definida para resolver usando somas de Riemann. A questão é calcular a área sob a curva da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos precisar entender o que são somas de Riemann e como elas ajudam a calcular áreas de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre somas de Riemann. Imagina que você quer encontrar a área sob uma curva, mas não sabe como fazer isso diretamente. A ideia das somas de Riemann é dividir esse intervalo em várias partes pequenas (chamamos de subintervalos), calcular a área de retângulos que ficam em cima desses subintervalos, e depois somar todas essas áreas para aproximar a área total sob a curva.
Passo 3
Vamos aplicar isso no nosso caso. Nosso intervalo vai de
a
, o que dá um comprimento total de
. Vamos dividir esse intervalo em
partes iguais, onde
é bem grande para que a aproximação seja precisa.
A largura de cada subintervalo é:
Passo 4
Agora, vamos escolher pontos específicos em cada subintervalo para calcular a altura dos retângulos. Uma escolha comum é usar o ponto mais à direita de cada subintervalo, chamado de ponto direito. O
-ésimo ponto é:
onde
.
Passo 5
A altura de cada retângulo será o valor da função
nesse ponto:
Passo 6
A área de cada retângulo é então:
Passo 7
Para encontrar a soma total das áreas dos retângulos, somamos todas essas áreas:
Passo 8
Quando aumentamos
para infinito, a soma de Riemann se aproxima exatamente da integral definida. Portanto, temos:
Passo 9
Para resolver essa integral de forma mais simples, podemos encontrar a antiderivada de
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 10
Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de
a
:
Passo 11
Calculando os valores:
Resposta
A área sob a curva da função
de
até
é
unidades de área.