EXERCÍCIO 1: Use somas de riemann e Determine a área das integrais definidas por:
integral-3^2 2 x^2 d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma integral definida para resolver usando somas de Riemann. A questão é calcular a área sob a curva da função f(x) = 2x^2 no intervalo de x = -3 até x = 2 . Para isso, vamos precisar entender o que são somas de Riemann e como elas ajudam a calcular áreas de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre somas de Riemann. Imagina que você quer encontrar a área sob uma curva, mas não sabe como fazer isso diretamente. A ideia das somas de Riemann é dividir esse intervalo em várias partes pequenas (chamamos de subintervalos), calcular a área de retângulos que ficam em cima desses subintervalos, e depois somar todas essas áreas para aproximar a área total sob a curva.

Passo 3

Vamos aplicar isso no nosso caso. Nosso intervalo vai de -3 a 2 , o que dá um comprimento total de 5 . Vamos dividir esse intervalo em n partes iguais, onde n é bem grande para que a aproximação seja precisa.
A largura de cada subintervalo é:
De<a x = 2 - (-3)n = 5n

Passo 4

Agora, vamos escolher pontos específicos em cada subintervalo para calcular a altura dos retângulos. Uma escolha comum é usar o ponto mais à direita de cada subintervalo, chamado de ponto direito. O i -ésimo ponto é:
xi = -3 + i De<a x
onde i = 1, 2, 3, ldots, n .

Passo 5

A altura de cada retângulo será o valor da função f(x) = 2x^2 nesse ponto:
f(xi) = 2xi^2

Passo 6

A área de cada retângulo é então:
Área do retângulo = f(xi) De<a x = 2xi^2 cdot 5n Áâ

Passo 7

Para encontrar a soma total das áreas dos retângulos, somamos todas essas áreas:
Soma de Riemann = sumi=1^n 2xi^2 cdot 5n

Passo 8

Quando aumentamos n para infinito, a soma de Riemann se aproxima exatamente da integral definida. Portanto, temos:
integral-3^2 2x^2 , dx = limn to infty sumi=1^n 2xi^2 cdot 5n

Passo 9

Para resolver essa integral de forma mais simples, podemos encontrar a antiderivada de 2x^2 . A antiderivada de x^n é x^n+1n+1 , então:
integral 2x^2 , dx = 2 cdot x^33 = 23x^3

Passo 10

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de -3 a 2 :
[ 23x^3 ]-3^2 = 23(2)^3 - 23(-3)^3

Passo 11

Calculando os valores:
23(8) - 23(-27) = 163 + 543 = 703

Resposta

A área sob a curva da função 2x^2 de x = -3 até x = 2 é 703 unidades de área.

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