Determine o conjunto dos pontos em que f(x, y) é contínua.
f(x, y)= e^-1 /(x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= e^-1/(x^2+y^2),&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede o conjunto onde f é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis, que envolve verificar (i) pontos fora da origem e (ii) o ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), note que x^2+y^2>0, portanto a função
(x,y)mapsto -1x^2+y^2
é contínua, e a composição com a função exponencial
tmapsto e^t
também é contínua. Logo, para todo (x,y)neq(0,0), f(x,y)=e^-1/(x^2+y^2) é contínua por composição de funções contínuas.

Passo 3

No ponto (0,0), precisamos verificar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =f(0,0)=0
Em coordenadas polares, r=raizx^2+y^2, temos para (x,y)neq(0,0)
f(r,theta)=e^-1/r^2
Quando rto0^+, 1/r^2to+infty e portanto
e^-1/r^2;longrightarrow;0
Isso mostra que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0),
isto é, f é contínua também em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo o plano R^2.

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