Verifique se os problemas abaixo têm soluçāo e, nesse caso, ache todas as soluçöes:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a PDE de primeira ordem uy = x e^y em R^2 sujeita à condição de contorno na curva x=y^2, ou seja u(y^2,y)=y^2e^y. Vamos usar integração em relação a y e depois ajustar a constante de integração usando a condição dada.

Passo 2

Integramos a equação uy = x e^y em relação a y, tratando x como constante. Isso dá
u(x,y)=integral x e^y,dy + C(x)=x e^y + C(x),
onde C(x) é uma função arbitrária de x.

Passo 3

Agora impomos a condição u(y^2,y)=y^2e^y. Substituindo na solução geral:
u(y^2,y)=y^2 e^y + C(y^2)stackrel!=y^2 e^y
Isso força C(y^2)=0 para todo y, ou seja, C(x)=0 sempre que x>=0.

Passo 4

Concluímos que todas as soluções são da forma
u(x,y)=x e^y + C(x),
com a única restrição de que C(x)=0 para x>=0. Para x<0, C(x) permanece arbitrária.

Passo 5

Em particular, na região x>=0 a solução fica única: u(x,y)=x e^y.

Resposta

u(x,y)=x e^y + C(x), onde C(x)=0 para x\ge0 e C(x) é arbitrária para x<0.

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