Verifique se os problemas abaixo têm soluçāo e, nesse caso, ache todas as soluçöes:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a PDE de primeira ordem
em
sujeita à condição de contorno na curva
, ou seja
. Vamos usar integração em relação a
e depois ajustar a constante de integração usando a condição dada.
Passo 2
Integramos a equação
em relação a
, tratando
como constante. Isso dá
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 3
Agora impomos a condição
. Substituindo na solução geral:
Isso força
para todo
, ou seja,
sempre que
.
Passo 4
Concluímos que todas as soluções são da forma
com a única restrição de que
para
. Para
,
permanece arbitrária.
Passo 5
Em particular, na região
a solução fica única:
.
Resposta
u(x,y)=x e^y + C(x), onde C(x)=0 para x\ge0 e C(x) é arbitrária para x<0.