Verifique se os problemas abaixo têm soluçāo e, nesse caso, ache todas as soluçöes:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação em derivada parcial uy = x e^y em R^2 sujeita à condição de contorno u(y^2,y)=e^y^2+y^4. O conteúdo principal é um problema de Cauchy para PDE de primeira ordem, e vamos precisar integrar em relação a y e impor a condição sobre a curva x=y^2.

Passo 2

Integramos uy = x e^y em y, tratando x como constante. Isso dá a solução geral
u(x,y)=x e^y + F(x),
onde F é uma função arbitrária de x.

Passo 3

Impondo u(y^2,y)=e^y^2+y^4, obtemos
F(y^2)=e^y^2+y^4 - y^2 e^y
Como F depende apenas de t=y^2, o valor de F(t) deve ser o mesmo para y=+raiz t e y=-raiz t. Mas
e^t+t^2 - t e^+raiz t neq e^t+t^2 - t e^-raiz t( t>0 ),
logo não há função F única que satisfaça ambas as ramificações. Concluímos que não existe solução definida em toda R^2.

Passo 4

Porém, se restringirmos ao semiplano y>0 (onde cada t=y^2 vem de um único y=+raiz t), então
u(x,y)=x e^y + e^x + x^2 - x e^raizx,
é a única solução local perto da curva inicial. De modo análogo, no semiplano y<0 obtemos
u(x,y)=x e^y + e^x + x^2 - x e^-raizx

Resposta

Não existe solução global em R^2 que satisfaça simultaneamente a PDE e a condição u(y^2,y)=e^y^2+y^4. Entretanto, restringindo ao semiplano y>0 (e x>0), a única solução local é
u(x,y)=x e^y + e^x + x^2 - x e^raizx,
e, restringindo ao semiplano y<0 (e x>0), a única solução local é
u(x,y)=x e^y + e^x + x^2 - x e^-raizx

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