Verifique se os problemas abaixo têm soluçāo e, nesse caso, ache todas as soluçöes:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação em derivada parcial
em
sujeita à condição de contorno
. O conteúdo principal é um problema de Cauchy para PDE de primeira ordem, e vamos precisar integrar em relação a
e impor a condição sobre a curva
.
Passo 2
Integramos
em
, tratando
como constante. Isso dá a solução geral
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 3
Impondo
, obtemos
Como
depende apenas de
, o valor de
deve ser o mesmo para
e
. Mas
logo não há função
única que satisfaça ambas as ramificações. Concluímos que não existe solução definida em toda
.
Passo 4
Porém, se restringirmos ao semiplano
(onde cada
vem de um único
), então
é a única solução local perto da curva inicial. De modo análogo, no semiplano
obtemos
Resposta
Não existe solução global em
que satisfaça simultaneamente a PDE e a condição
. Entretanto, restringindo ao semiplano
(e
), a única solução local é
e, restringindo ao semiplano
(e
), a única solução local é