Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função:
w=x y cos (zx y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
w = x,y;cos!l(zx,yr)
em relação a x, y e z.
O conteúdo aqui envolve a regra do produto e a regra da cadeia. Para facilitar, definimos
u = zx,y,
de modo que w = x,ycos(u).

Passo 2

Vamos achar partial wpartial x.
Usando regra do produto em x,ycos(u):
partial wpartial x = partial (x,y)partial xcos(u) + x,y;partialpartial xl[cos(u)r]
Aqui partial (x,y)partial x=y e, pela regra da cadeia,
partialpartial xl[cos(u)r] = -sin(u),partial upartial x
Como u = z,(x,y)^-1,
partial upartial x = z,partialpartial xl[(x,y)^-1r] = zl(-1)(x,y)^-2,y = -zx^2y
Substituindo,
partial wpartial x = ycos(u) + x,yl[-sin(u)r]l(-zx^2yr) = ycos(u) + zx,sin(u)

Passo 3

Agora partial wpartial y. Pelo mesmo raciocínio, trocando papéis de x e y:
partial wpartial y = xcos(u) + x,yl[-sin(u)r]partial upartial y
Como
partial upartial y = z,partialpartial yl[(x,y)^-1r] = -zx,y^2,
segue
partial wpartial y = xcos(u) + zy,sin(u)

Passo 4

Por fim partial wpartial z. Aqui x e y são constantes, então só entra a regra da cadeia sobre cos(u):
partial wpartial z = x,y;l[-sin(u)r],partial upartial z = x,yl[-sin(u)r]1x,y = -sin(u)

Resposta

partial wpartial x = ycos!l(zx,yr) + zx,sin!l(zx,yr),
partial wpartial y = xcos!l(zx,yr) + zy,sin!l(zx,yr),
partial wpartial z = -sin!l(zx,yr)

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