Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=|x^2-3 x+2|

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce o gráfico de
f(x)=lvert x^2-3x+2rvert
O conteúdo aqui é função valor absoluto aplicada a um polinômio do 2º grau. Para resolver, vamos:
  1. fatorar e achar as raízes de x^2-3x+2,
  2. determinar em quais intervalos o polinômio é positivo ou negativo,
  3. reescrever f(x) como função peça a peça, refletir (quando necessário) a parte negativa e por fim desenhar o esboço.

Passo 2

Fatoramos o polinômio interno:
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)
As raízes são x=1 e x=2. Como é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo, ela é positiva para x<1 e para x>2, e negativa no intervalo 1<x<2.

Passo 3

Com isso, o valor absoluto gera a definição em pedaços:
f(x)= x^2-3x+2, & x<=1, -(x^2-3x+2)= -x^2+3x-2, & 1<= x<=2, x^2-3x+2, & x>=2

Passo 4

Agora identificamos pontos importantes:
– Em x=1 e em x=2 temos f(1)=0 e f(2)=0, marcando onde o gráfico toca o eixo x.
– No trecho invertido ( 1<= x<=2) a função -x^2+3x-2 é concava para baixo e atinge máximo em x=32.
Calculando:
f!l(tfrac32r) = -l(tfrac32r)^2 +3cdottfrac32 -2 = -tfrac94 + tfrac92 -2 = -tfrac94 + tfrac92 - tfrac84 = tfrac-9+18-84 = tfrac14
Portanto, há um “pico” em l(tfrac32,tfrac14r).
Nos extremos xtopminfty, como o coeficiente de x^2 na expressão sem valor absoluto é positivo, o gráfico cresce como uma parábola normal.

Passo 5

Com tudo isso, o esboço fica assim:
  • Para x<=1, uma parte da parábola y=x^2-3x+2 abrindo para cima, chegando em (1,0).
  • Para 1<= x<=2, a parte negativa de x^2-3x+2 foi refletida, resultando em um arco de concavidade para baixo ligando (1,0) ao (2,0) e atingindo l(tfrac32,tfrac14r).
  • Para x>=2, volta a ser a curva y=x^2-3x+2 crescendo para cima a partir de (2,0).

Resposta

O gráfico de f(x)=lvert x^2-3x+2rvert é a parábola x^2-3x+2 para x<=1 e x>=2, com o trecho entre x=1 e x=2 invertido para cima, tocando o eixo x em (1,0) e (2,0) e atingindo máximo em l(tfrac32,tfrac14r).

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