Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
g(x, y)=x^2+2 y^22 x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
g(x,y)=x^2+2y^22x^2-y^2
Vamos usar a regra do quociente para derivadas parciais: se g=u/v, então
partial gpartial x =ux,v - u,vxv^2, partial gpartial y =uy,v - u,vyv^2

Passo 2

Definimos
u(x,y)=x^2+2y^2, v(x,y)=2x^2-y^2
Calculamos as derivadas parciais em relação a x:
ux=2x e vx=4x.
Aplicando a regra do quociente:
partial gpartial x = 2x,(2x^2 - y^2) - (x^2+2y^2),4x(2x^2 - y^2)^2 = 4x^3 -2x y^2 -4x^3 -8x y^2(2x^2 - y^2)^2 = -10x y^2(2x^2 - y^2)^2

Passo 3

Agora em relação a y:
uy=4y e vy=-2y.
Então
partial gpartial y = 4y,(2x^2 - y^2) - (x^2+2y^2),(-2y)(2x^2 - y^2)^2 = 8x^2y -4y^3 +2x^2y +4y^3(2x^2 - y^2)^2 = 10x^2 y(2x^2 - y^2)^2

Resposta

partial gpartial x = -10x,y^2(2x^2 - y^2)^2
partial gpartial y = 10x^2,y(2x^2 - y^2)^2

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