Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
f(x, y)=(x^2+y^2) sen(x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y) = l(x^2 + y^2r),senl(x^2+y^2r)
O conteúdo utilizado será a regra do produto (para ,ucdot v) e a regra da cadeia (para compor funções de x e y).

Passo 2

Definimos a função intermediária
u(x,y) = x^2 + y^2,
de modo que
f(x,y) = u;sen(u)

Passo 3

Aplicamos a derivada de f em relação a u considerando f(u)=u,sen(u). Pela regra do produto:
dfdu = 1cdot sen(u) + ucdot cos(u) = sen(u) + u,cos(u)

Passo 4

Agora usamos a regra da cadeia para obter partial f/partial x:
partial fpartial x = dfdu,partial upartial x = l[sen(u) + u,cos(u)r]cdot 2x

Passo 5

Substituindo u = x^2 + y^2 na expressão anterior, vem
partial fpartial x = 2x;senl(x^2+y^2r) + 2x,(x^2+y^2),cosl(x^2+y^2r)

Passo 6

De modo análogo, para partial f/partial y usamos
partial upartial y = 2y e dfdu = sen(u) + u,cos(u),
obtendo
partial fpartial y = 2y;senl(x^2+y^2r) + 2y,(x^2+y^2),cosl(x^2+y^2r)

Resposta

partial fpartial x = 2x,senl(x^2+y^2r) + 2x,(x^2+y^2),cosl(x^2+y^2r),
partial fpartial y = 2y,senl(x^2+y^2r) + 2y,(x^2+y^2),cosl(x^2+y^2r)

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