Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
z=(2 x+3 y)^12

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = (2x + 3y)^12
Este é um caso de aplicação da regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Para encontrar partial zpartial x tratamos y como constante e aplicamos a regra da cadeia: primeiro derivamos a potência e depois multiplicamos pela derivada do argumento interno em relação a x. Assim,
partial zpartial x = 12,(2x+3y)^11,partialpartial x(2x+3y)
Como partialpartial x(2x+3y)=2, temos
partial zpartial x = 12,(2x+3y)^11cdot 2 = 24,(2x+3y)^11

Passo 3

Para encontrar partial zpartial y tratamos x como constante e repetimos o processo. Primeiro a derivada da potência e depois a derivada do interno em relação a y:
partial zpartial y = 12,(2x+3y)^11,partialpartial y(2x+3y)
Como partialpartial y(2x+3y)=3, segue
partial zpartial y = 12,(2x+3y)^11cdot 3 = 36,(2x+3y)^11

Resposta

partial zpartial x = 24,(2x+3y)^11, partial zpartial y = 36,(2x+3y)^11

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