Descubra o valor de alpha para que a função
f(x, y)=cc sen(x y)x y, & se x y neq 0 alpha, & se x y=0
seja contínua em R^2.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracsin(xy)xy,&se xyneq0,[6pt] alpha,&se xy=0,
e pede o valor de alpha para que f seja contínua em R^2.
O conteúdo envolve limites e continuidade de funções de duas variáveis, em particular o limite da forma tfracsin tt quando tto0.]

Passo 2

Para f ser contínua num ponto (x0,y0) com x0y0=0, precisamos ter
lim(x,y)to(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)=alpha
Ou seja, o valor de alpha deve coincidir com o limite de dfracsen(xy)xy quando (x,y) se aproxima de qualquer ponto com xy=0.

Passo 3

Ao nos aproximarmos de um ponto em que xy=0 mas x yneq0 na vizinhança, o produto t=xy tende a zero. Logo estudamos
limtto0sen tt,
e sabemos do cálculo de limites unidimensionais que
limtto0sen tt=1

Passo 4

Para que lim(x,y)to(x0,y0)sen(xy)xy=1 coincida com f(x0,y0)=alpha, devemos escolher
alpha=1

Resposta

alpha=1

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