Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
g(u, v)=cos (u^2-v^2u^2+v^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
g(u,v)=cosl(u^2-v^2u^2+v^2r). O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia (para a função composta cos(cdot)) junto com a regra do quociente (para derivar u^2-v^2u^2+v^2).

Passo 2

Definimos a função interna
varphi(u,v)=u^2-v^2u^2+v^2
de modo que
g(u,v)=cosl(varphi(u,v)r)
Pela regra da cadeia temos
partial gpartial u=-sinl(varphi(u,v)r),partial varphipartial u, partial gpartial v=-sinl(varphi(u,v)r),partial varphipartial v

Passo 3

Calculamos partial varphipartial u pela regra do quociente. Seja
N(u,v)=u^2-v^2, D(u,v)=u^2+v^2
Então
partial Npartial u=2u, partial Dpartial u=2u,
e
partial varphipartial u =D,partialu N - N,partialu DD^2 =(u^2+v^2),2u - (u^2-v^2),2u(u^2+v^2)^2 =4u,v^2(u^2+v^2)^2

Passo 4

De modo análogo, para partial varphipartial v temos
partial Npartial v=-2v, partial Dpartial v=2v,
logo
partial varphipartial v =(u^2+v^2)(-2v) - (u^2-v^2),2v(u^2+v^2)^2 =-4u^2,v(u^2+v^2)^2

Passo 5

Substituindo na regra da cadeia, obtemos
partial gpartial u =-sin!l(u^2-v^2u^2+v^2r),4u,v^2(u^2+v^2)^2,
partial gpartial v =-sin!l(u^2-v^2u^2+v^2r),-4u^2,v(u^2+v^2)^2 =sin!l(u^2-v^2u^2+v^2r),4u^2,v(u^2+v^2)^2

Resposta

partial gpartial u =-sin!l(u^2-v^2u^2+v^2r),4u,v^2(u^2+v^2)^2, partial gpartial v =sin!l(u^2-v^2u^2+v^2r),4u^2,v(u^2+v^2)^2

Exercícios relacionados