Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
h(alpha, beta)=alpha^2+beta^2raizsen^2(alpha)+ln (beta)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
h(alpha,beta) = alpha^2 + beta^2raizsin^2(alpha) + ln(beta)
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais, aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia. Precisamos das derivadas de alpha^2, beta^2, de sin^2(alpha), de ln(beta) e da função raiz quadrada.

Passo 2

Vamos separar numerador e denominador:
N(alpha,beta) = alpha^2 + beta^2,
D(alpha,beta) = raizsin^2(alpha) + ln(beta)
Então
h(alpha,beta) = ND

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de N e de D:
  • partial Npartial alpha = 2,alpha, partial Npartial beta = 2,beta
  • Para D = [sin^2(alpha)+ln(beta)]^1/2, pela regra da cadeia: partial Dpartial alpha = 12raizsin^2(alpha)+ln(beta)cdot 2sin(alpha)cos(alpha) = sin(2alpha)2,D,
partial Dpartial beta = 12raizsin^2(alpha)+ln(beta)cdot1beta = 12,beta,D

Passo 4

Aplicando a regra do quociente para partial hpartial alpha:
partial hpartial alpha = partial Npartial alpha,D - N,partial Dpartial alphaD^2 = 2alpha,D - (alpha^2+beta^2)sin(2alpha)2,DD^2
Dividindo por D^2 e reescrevendo em termos de sin^2(alpha)+ln(beta), obtemos
partial hpartial alpha = 2alpharaizsin^2(alpha)+ln(beta) - (alpha^2+beta^2),sin(2alpha)2,l(sin^2(alpha)+ln(beta)r)^3/2

Passo 5

Analogamente, para partial hpartial beta temos
partial hpartial beta = 2beta,D - (alpha^2+beta^2)12beta,DD^2 = 2betaraizsin^2(alpha)+ln(beta) - alpha^2+beta^22,beta,l(sin^2(alpha)+ln(beta)r)^3/2

Resposta

boxed partial hpartial alpha &= 2alpharaizsin^2(alpha)+ln(beta) - (alpha^2+beta^2),sin(2alpha)2,l(sin^2(alpha)+ln(beta)r)^3/2,[6pt] partial hpartial beta &= 2betaraizsin^2(alpha)+ln(beta) - alpha^2+beta^22,beta,l(sin^2(alpha)+ln(beta)r)^3/2 ]

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