Determine o volume do sólido limitado pelas superffcies z=3 x^2, z=4-x^2, y=0 e z+y=6.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
;z = 3x^2,
;z = 4 - x^2,
;y = 0
e
;z + y = 6.
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla. Vamos descrever o domínio em termos de variáveis, escolher uma ordem de integração conveniente e depois calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, projetamos o sólido no plano x - z. As superfícies z=3x^2 e z=4-x^2 se cruzam quando
3x^2 = 4 - x^2 Longrightarrow 4x^2 = 4 Longrightarrow x = pm 1
Logo, para cada xin[-1,1], temos
3x^2 <= z <= 4 - x^2

Passo 3

Para cada ponto (x,z) nessa região, y varia de 0 até a reta z+y=6, isto é, y=6-z. Montamos a integral tripla:
V ;=; integralx=-1^1 integralz=3x^2^4-x^2 integraly=0^6-z dy,dz,dx

Passo 4

Integramos em y primeiro. Como integral0^6-zdy = 6 - z, fica
V = integralx=-1^1 integralz=3x^2^4-x^2 (6 - z),dz,dx

Passo 5

Agora calculamos a integral em z:
integral3x^2^4-x^2(6 - z),dz = l[6z - tfrac12 z^2r]z=3x^2^,4-x^2 = l(16 - 2x^2 - tfrac12(4-x^2)^2r) - l(18x^2 - tfrac92 x^4r)
Expandindo e simplificando obtemos
integral3x^2^4-x^2(6 - z),dz = 16 - 20x^2 + 4x^4

Passo 6

Falta integrar em x:
V = integral-1^1 l(16 - 20x^2 + 4x^4r),dx
Como o integrando é função par, fazemos
V = 2 integral0^1 l(16 - 20x^2 + 4x^4r),dx = 2l[16x - tfrac203x^3 + tfrac45x^5r]0^1 = 2l(16 - tfrac203 + tfrac45r) = tfrac30415

Resposta

boxedV = 30415

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