Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
g(x, y, z)=x^3-y^2z^4+x^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
g(x,y,z)=x^3-y^2z^4+x^2
Para isso vamos usar a regra do quociente em derivadas parciais, além de derivar diretamente quando o denominador for constante em relação à variável.

Passo 2

Calcular partial gpartial x. Seja
N(x,y,z)=x^3-y^2, D(x,y,z)=z^4+x^2
Então
partial Npartial x=3x^2, partial Dpartial x=2x
Pela regra do quociente,
partial gpartial x =(partialx N),D - N,(partialx D)D^2 =3x^2(z^4+x^2)-(x^3-y^2)(2x)(z^4+x^2)^2
Distribuindo e simplificando o numerador,
3x^2z^4+3x^4-2x^4+2x,y^2 =3x^2z^4+x^4+2x,y^2,
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partial gpartial x =3x^2z^4+x^4+2x,y^2(z^4+x^2)^2

Passo 3

Calcular partial gpartial y. Como o denominador não depende de y, basta derivar o numerador:
partialpartial y(x^3-y^2)=-2y
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partial gpartial y =-2yz^4+x^2

Passo 4

Calcular partial gpartial z. Aqui o numerador é constante em z e o denominador depende de z. Seja ainda N=x^3-y^2 e D=z^4+x^2. Então
partial Npartial z=0, partial Dpartial z=4z^3,
e pela regra do quociente:
partial gpartial z =0cdot D - N,(4z^3)D^2 =-4z^3,(x^3-y^2)(z^4+x^2)^2

Resposta

partial gpartial x = 3x^2z^4 + x^4 + 2x y^2(z^4 + x^2)^2
partial gpartial y = -2yz^4 + x^2
partial gpartial z = -4z^3(x^3 - y^2)(z^4 + x^2)^2

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