Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
h(x, y, z)=x^y / z

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
h(x,y,z)=x^y/z
Isso envolve regras de derivação de exponencial e logaritmo, além da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos
h(x,y,z)=expl(yzln xr)
Assim podemos usar a regra ddue^u=e^u junto com a derivação de u=tfracyzln x.

Passo 3

Calculando partial hpartial x:
primeiro derivamos o expoente em relação a x,
partialpartial xl(tfracyzln xr) =yzcdot1x,
depois multiplicamos por h. Logo,
partial hpartial x =e^yzln xcdotyzcdot1x = x^yz-1,yz

Passo 4

Calculando partial hpartial y:
o expoente tfracyzln x derivado em relação a y é tfrac1zln x. Multiplicando por h,
partial hpartial y =e^yzln xcdotln xz = x^yzln xz

Passo 5

Calculando partial hpartial z:
derivamos o expoente em relação a z,
partialpartial zl(tfracyzln xr) =-yz^2ln x,
e multiplicamos por h. Assim,
partial hpartial z =e^yzln xcdotl(-yln xz^2r) = -,x^yzyln xz^2

Resposta

partial hpartial x = x^yz-1,yz, partial hpartial y = x^yzln xz, partial hpartial z = -,x^yzyln xz^2

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