Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=lnl(x^2+y^2+z^2r)
O conteúdo a aplicar é derivada parcial e, em particular, a regra da cadeia para a função composta ln(u), cuja derivada é 1/ucdot u'.

Passo 2

Definimos
u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
Para partial f/partial x, usamos
partial fpartial x =1u(x,y,z);partial upartial x
Como
partial upartial x=2x,
segue
partial fpartial x =1x^2+y^2+z^2cdot2x =2xx^2+y^2+z^2

Passo 3

Para partial f/partial y, análogamente, temos
partial upartial y=2y Longrightarrow partial fpartial y =1x^2+y^2+z^2cdot2y =2yx^2+y^2+z^2

Passo 4

Para partial f/partial z, de modo similar,
partial upartial z=2z Longrightarrow partial fpartial z =1x^2+y^2+z^2cdot2z =2zx^2+y^2+z^2

Resposta

partial fpartial x=2xx^2+y^2+z^2
partial fpartial y=2yx^2+y^2+z^2
partial fpartial z=2zx^2+y^2+z^2

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