Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
g(x, y, z)=x-2 y+3 z3 x+2 y-z

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
g(x,y,z)=x-2y+3z3x+2y-z,
Estamos em cálculo multivariável, e vamos usar a regra do quociente para derivadas parciais: se
g(x,y,z)=f(x,y,z)h(x,y,z),
então, por exemplo,
partial gpartial x =partial fpartial x,h - f,partial hpartial xh^2

Passo 2

Definimos
f(x,y,z)=x-2y+3z, h(x,y,z)=3x+2y-z
Para partial gpartial x calculamos
partial fpartial x=1, partial hpartial x=3
Então, pela regra do quociente,
partial gpartial x =1cdot(3x+2y-z)-(x-2y+3z)cdot3(3x+2y-z)^2

Passo 3

Simplificando o numerador de partial gpartial x:
(3x+2y-z)-3(x-2y+3z) =3x+2y-z-3x+6y-9z =8y-10z
Logo
partial gpartial x =8y-10z(3x+2y-z)^2 =2(4y-5z)(3x+2y-z)^2

Passo 4

Para partial gpartial y temos
partial fpartial y=-2, partial hpartial y=2
Aplicando a regra do quociente:
partial gpartial y =-2,(3x+2y-z)-(x-2y+3z),2(3x+2y-z)^2
O numerador fica
-6x-4y+2z-2x+4y-6z=-8x-4z,
portanto
partial gpartial y =-8x-4z(3x+2y-z)^2 =-4(2x+z)(3x+2y-z)^2

Passo 5

Para partial gpartial z temos
partial fpartial z=3, partial hpartial z=-1
Pela regra do quociente:
partial gpartial z =3,(3x+2y-z)-(x-2y+3z)(-1)(3x+2y-z)^2
O numerador simplifica para
9x+6y-3z + x-2y+3z =10x+4y,
logo
partial gpartial z =10x+4y(3x+2y-z)^2 =2(5x+2y)(3x+2y-z)^2

Resposta

partial gpartial x =2(4y-5z)(3x+2y-z)^2, partial gpartial y =-4(2x+z)(3x+2y-z)^2, partial gpartial z =2(5x+2y)(3x+2y-z)^2

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