Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
h(r, s, t)=ln (r) cos (t)e^s

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
h(r,s,t) = ln(r),cos(t)e^s
Aqui o conteúdo envolvido é derivada parcial em funções de várias variáveis, usando regra do produto (quando aplicável) e regra da cadeia para exponencial e funções elementares como ln e cos.

Passo 2

Para partial hpartial r tratamos cos(t)/e^s como constante em relação a r. Como
ddrl[ln(r)r] = 1r,
temos
partial hpartial r = 1e^s;ddrl[ln(r)r];cos(t) = cos(t)r,e^s

Passo 3

Para partial hpartial s é útil reescrever
h(r,s,t) = ln(r),cos(t);e^-s
Aplicando regra da cadeia em e^-s, onde
ddsl[e^-sr] = -,e^-s,
obtemos
partial hpartial s = ln(r),cos(t);l(-e^-sr) = -,ln(r),cos(t)e^s

Passo 4

Para partial hpartial t tratamos ln(r)/e^s como constante em relação a t. Como
ddtl[cos(t)r] = -sin(t),
segue
partial hpartial t = ln(r)e^s;ddtl[cos(t)r] = -,ln(r),sin(t)e^s

Resposta

partial hpartial r = cos(t)r,e^s
partial hpartial s = -,ln(r),cos(t)e^s
partial hpartial t = -,ln(r),sin(t)e^s

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