Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
f(x, y, z)=x arctg(yz)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=xarctan!gl(yzgr)
O conteúdo que precisamos usar envolve:
– a definição de derivada parcial (tratando as outras variáveis como constantes),
– a regra do produto,
– a regra da cadeia,
– a derivada de arctan(u), que é dduarctan(u)=11+u^2

Passo 2

Para fx=partial fpartial x, tratamos y e z como constantes e aplicamos a regra do produto:
f(x,y,z)=xcdot underbracearctan!l(tfracyzr)constante em x
A derivada em relação a x é
fx=arctan!l(tfracyzr)

Passo 3

Para fy=partial fpartial y, agora x e z são constantes e usamos cadeia sobre
arctan(u) com u=y/z. Temos
partialpartial yarctan!l(tfracyzr) =11+(y/z)^2cdotpartialpartial y!l(tfracyzr) =11+(y/z)^2cdot1z
Multiplicando por x, obtemos
fy =xcdot1zl(1+(y/z)^2r) =xcdotz^2z,(z^2+y^2) =x,zz^2+y^2

Passo 4

Para fz=partial fpartial z, x e y são constantes. De novo usamos cadeia sobre arctan(u) com u=y/z:
partialpartial zarctan!l(tfracyzr) =11+(y/z)^2cdotpartialpartial z!l(tfracyzr) =11+(y/z)^2cdotl(-tfracyz^2r)
Multiplicando por x, isso vira
fz =xcdotgl(-yz^2gr)11+(y/z)^2 =-x,yz^2+y^2

Resposta

fx(x,y,z)=arctan!l(tfracyzr), fy(x,y,z)=x,zz^2+y^2, fz(x,y,z)=-x,yz^2+y^2

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