Considere a integral iterada dada em coordenadas cilíndricas:
I=integral0^pi integral0^2 integral0^raiz4-r^2 r^2 sen theta d z d r d theta
Calcule o valor de I.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada em coordenadas cilíndricas
I=integral0^piintegral0^2integral0^raiz4-r^2r^2sintheta,dz,dr,dtheta
Aqui o conteúdo é integração múltipla e usamos a ordem dz, depois dr, depois dtheta.

Passo 2

Integramos primeiro em z. Como r^2sintheta não depende de z, temos
integral0^raiz4-r^2r^2sintheta,dz =r^2sintheta;l[zr]0^raiz4-r^2 =r^2sintheta,raiz4-r^2
Logo
I=integral0^piintegral0^2r^2sintheta,raiz4-r^2,dr,dtheta

Passo 3

Como o integrando separa em função de r vezes função de theta, podemos escrever
I =l(integral0^pisintheta,dthetar) ;l(integral0^2r^2raiz4-r^2,drr)

Passo 4

Para a parte radial use a substituição r=2sinphi, dr=2cosphi,dphi, com phi de 0 a pi/2. Então
r^2raiz4-r^2,dr =(4sin^2phi)(2cosphi)(2cosphi,dphi) =16sin^2phicos^2phi,dphi
Portanto
integral0^2r^2raiz4-r^2,dr =16integral0^pi/2sin^2phicos^2phi,dphi
Usando sin^2phicos^2phi=tfrac14sin^2(2phi) e sabendo que integral0^pi/2sin^2(2phi),dphi=pi/4, vem
integral0^2r^2raiz4-r^2,dr =16cdot14cdotpi4 =pi

Passo 5

A parte angular é
integral0^pisintheta,dtheta =l[-costhetar]0^pi =2
Multiplicando as duas partes chega-se a
I=2cdotpi=2pi

Resposta

2pi

Exercícios relacionados