Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
f(x, y)x=x y e^x em (0,1)

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = x y e^x no ponto (0,1). O conteúdo principal envolve derivadas parciais, aplicação da regra do produto e a derivada da exponencial.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto em x e^x. A função fica:
f(x,y) = y cdot (x e^x)
Calculamos a derivada de x e^x:
ddx(x e^x) = e^x + x e^x
Logo,
partial fpartial x = y ,(e^x + x e^x) = y e^x (1 + x)

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x e^x como constante, pois depende só de x. Assim:
partial fpartial y = x e^x

Passo 4

Agora avaliamos as duas derivadas parciais no ponto (0,1). Substituindo x=0 e y=1:
partial fpartial x(0,1) = 1 cdot e^0 cdot (1 + 0) = 1
partial fpartial y(0,1) = 0 cdot e^0 = 0

Resposta

As derivadas parciais no ponto (0,1) são partial fpartial x(0,1) = 1 e partial fpartial y(0,1) = 0.

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