Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
w=\frac{x y+z x}{1+x^{2}+y^{3} z^{4}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
w(x,y,z) = \frac{x\,y + x\,z}{1 + x^{2} + y^{3} z^{4}}.
O conteúdo é derivada parcial e vamos usar a regra do quociente em três variáveis, definindo o numerador \displaystyle N(x,y,z) = x(y+z)
e o denominador \displaystyle D(x,y,z) = 1 + x^{2} + y^{3} z^{4}.

Passo 2

A regra do quociente diz que, para \displaystyle w = \frac{N}{D},
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\displaystyle \frac{\partial N}{\partial u}\,D \;-\; N \,\frac{\partial D}{\partial u}}{D^{2}}.
Vamos aplicar isso para u = x,y,z.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = y + z, \qquad \frac{\partial D}{\partial x} = 2x.
Logo,
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{(y+z)\,(1 + x^{2} + y^{3}z^{4}) \;-\; x(y+z)\,2x}{\bigl(1 + x^{2} + y^{3}z^{4}\bigr)^{2}}.

Passo 4

Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial N}{\partial y} = x, \qquad \frac{\partial D}{\partial y} = 3y^{2}z^{4}.
Portanto,
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{x\,(1 + x^{2} + y^{3}z^{4}) \;-\; x(y+z)\,3y^{2}z^{4}} {\bigl(1 + x^{2} + y^{3}z^{4}\bigr)^{2}}.

Passo 5

Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial N}{\partial z} = x, \qquad \frac{\partial D}{\partial z} = 4y^{3}z^{3}.
Assim,
\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{x\,(1 + x^{2} + y^{3}z^{4}) \;-\; x(y+z)\,4y^{3}z^{3}} {\bigl(1 + x^{2} + y^{3}z^{4}\bigr)^{2}}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{(y+z)\,(1 + x^{2} + y^{3}z^{4}) - 2x^{2}(y+z)}{(1 + x^{2} + y^{3}z^{4})^{2}},
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{x\,(1 + x^{2} + y^{3}z^{4}) - 3xy^{2}z^{4}(y+z)}{(1 + x^{2} + y^{3}z^{4})^{2}},
\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{x\,(1 + x^{2} + y^{3}z^{4}) - 4xy^{3}z^{3}(y+z)}{(1 + x^{2} + y^{3}z^{4})^{2}}.

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