Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
w=e^{x^{2} y^{3} z^{4}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
w = e^{x^{2}y^{3}z^{4}}.
O conteúdo envolve derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia: se w=e^{u} com u=u(x,y,z), então
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x},
e de forma análoga para as outras variáveis.

Passo 2

Vamos calcular \partial w/\partial x. Definimos
u(x,y,z)=x^{2}y^{3}z^{4},
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\frac{\partial u}{\partial x} =2x\,y^{3}z^{4}.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x^{2}y^{3}z^{4}}\cdot\bigl(2x\,y^{3}z^{4}\bigr).

Passo 3

Agora \partial w/\partial y. Calculamos
\frac{\partial u}{\partial y} = x^{2}\cdot 3y^{2}\,z^{4} =3x^{2}y^{2}z^{4}.
Logo, pela regra da cadeia,
\frac{\partial w}{\partial y} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x^{2}y^{3}z^{4}}\cdot\bigl(3x^{2}y^{2}z^{4}\bigr).

Passo 4

Finalmente \partial w/\partial z. Temos
\frac{\partial u}{\partial z} = x^{2}y^{3}\cdot 4z^{3} =4x^{2}y^{3}z^{3},
e aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial w}{\partial z} = e^{u}\,\frac{\partial u}{\partial z} = e^{x^{2}y^{3}z^{4}}\cdot\bigl(4x^{2}y^{3}z^{3}\bigr).

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x} =2x\,y^{3}z^{4}\,e^{x^{2}y^{3}z^{4}}, \qquad \frac{\partial w}{\partial y} =3x^{2}y^{2}z^{4}\,e^{x^{2}y^{3}z^{4}}, \qquad \frac{\partial w}{\partial z} =4x^{2}y^{3}z^{3}\,e^{x^{2}y^{3}z^{4}}.

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