Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
w=\ln \left(x^{2} y^{3} z^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
w = \ln\bigl(x^{2}y^{3}z^{4}\bigr).
O conteúdo envolvido é derivada parcial e regra da cadeia, além das propriedades do logaritmo.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo do produto e da potência para simplificar:
\ln\bigl(x^{2}y^{3}z^{4}\bigr) =\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\ln\bigl(y^{3}\bigr)+\ln\bigl(z^{4}\bigr) =2\ln(x)+3\ln(y)+4\ln(z).

Passo 3

Agora diferenciamos termo a termo, lembrando que \frac{d}{dx}\ln(x)=\tfrac1x:
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{d}{dx}\bigl(2\ln(x)\bigr) =2\cdot\frac1x =\frac{2}{x},
\frac{\partial w}{\partial y} =\frac{d}{dy}\bigl(3\ln(y)\bigr) =3\cdot\frac1y =\frac{3}{y},
\frac{\partial w}{\partial z} =\frac{d}{dz}\bigl(4\ln(z)\bigr) =4\cdot\frac1z =\frac{4}{z}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{2}{x},\quad \frac{\partial w}{\partial y}=\frac{3}{y},\quad \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{4}{z}.

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