Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
w=\frac{x+y+z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
w = \frac{x + y + z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}.
O conteúdo aqui é derivada parcial e vamos usar a regra do quociente, tratando sempre as outras variáveis como constantes.

Passo 2

Para obter \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}, defina
u(x,y,z) = x + y + z, \quad v(x,y,z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}.
Então, pela regra do quociente,
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{u_{x}'\,v - u\,v_{x}'}{v^{2}}.
Como u_{x}' = 1 e v_{x}' = 2x, substituindo:
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{1\cdot (x^{2}+y^{2}+z^{2}) - (x+y+z)\cdot 2x}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}} = \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2} - 2x(x+y+z)}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} repetimos o mesmo raciocínio, tratando x,z como constantes. Temos u_{y}'=1 e v_{y}'=2y, logo
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{1\cdot (x^{2}+y^{2}+z^{2}) - (x+y+z)\cdot 2y}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}} = \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2} - 2y(x+y+z)}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} fazemos o mesmo, com u_{z}'=1 e v_{z}'=2z:
\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{1\cdot (x^{2}+y^{2}+z^{2}) - (x+y+z)\cdot 2z}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}} = \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2} - 2z(x+y+z)}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2} - 2x(x+y+z)}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}},
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2} - 2y(x+y+z)}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}},
\frac{\partial w}{\partial z} = \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2} - 2z(x+y+z)}{\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}}.

Exercícios relacionados