Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
z=x^{2} y-x y^{2}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = x^{2}y \;-\; x\,y^{2}.
Isso faz parte do conteúdo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos usar a definição de derivada parcial:
– Para \frac{\partial z}{\partial x}, tratamos y como constante e derivamos em relação a x.
– Para \frac{\partial z}{\partial y}, tratamos x como constante e derivamos em relação a y.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial z}{\partial x}, mantemos y fixo e derivamos cada termo de z em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y - x\,y^{2}\bigr) = 2x\,y \;-\; y^{2}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial z}{\partial y}, mantemos x fixo e derivamos cada termo de z em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y - x\,y^{2}\bigr) = x^{2} \;-\; 2x\,y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,y - y^{2} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = x^{2} - 2x\,y

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