Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
w=\sqrt[6]{x y z}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de w = \sqrt[6]{x\,y\,z} ou seja, de w(x,y,z) = (x\,y\,z)^{1/6}. Vamos usar a regra de potência para funções de várias variáveis, tratando sempre as outras como constantes.

Passo 2

Reescrevendo em forma de potências, temos
w = x^{1/6}\,y^{1/6}\,z^{1/6}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}, tratamos y e z como constantes. Aplicando a regra de potência em x^{1/6}, obtemos
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{1}{6}\,x^{-5/6}\,y^{1/6}\,z^{1/6}.

Passo 4

De forma análoga, para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} temos
\frac{\partial w}{\partial y} = x^{1/6}\,\frac{1}{6}\,y^{-5/6}\,z^{1/6} = \frac{1}{6}\,x^{1/6}\,y^{-5/6}\,z^{1/6}.

Passo 5

E finalmente, para \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} obtemos
\frac{\partial w}{\partial z} = x^{1/6}\,y^{1/6}\,\frac{1}{6}\,z^{-5/6} = \frac{1}{6}\,x^{1/6}\,y^{1/6}\,z^{-5/6}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{1}{6}\,x^{-5/6}\,y^{1/6}\,z^{1/6},\quad \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{1}{6}\,x^{1/6}\,y^{-5/6}\,z^{1/6},\quad \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{1}{6}\,x^{1/6}\,y^{1/6}\,z^{-5/6}.

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