Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
z=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e a y. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a regra de potência: se z = u^{n} com u=u(x,y), então
\frac{\partial z}{\partial x} = n\,u^{\,n-1}\,\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = n\,u^{\,n-1}\,\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 2

Começando por \partial z/\partial x, note que podemos reescrever
z = (x^{2}+y^{2})^{-\tfrac12},
logo u = x^{2}+y^{2} e n = -\tfrac12. A derivada de u em relação a x é
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x.
Aplicando a regra de potência e a regra da cadeia, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x} = -\tfrac12\,(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac32}\,\bigl(2x\bigr) = -x\,(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac32}.

Passo 3

Agora para \partial z/\partial y, usamos exatamente o mesmo raciocínio:
u = x^{2}+y^{2},\quad n = -\tfrac12, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 2y.
Logo
\frac{\partial z}{\partial y} = -\tfrac12\,(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac32}\,\bigl(2y\bigr) = -y\,(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac32}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

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