Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
z=\operatorname{arctg}\left(x^{2}+y\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = \arctan\bigl(x^{2} + y\bigr).
O conteúdo envolvido é derivada parcial e a técnica será a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função intermediária
u = x^{2} + y,
de modo que z = \arctan(u).
Para calcular \frac{\partial z}{\partial x}, usamos
\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{1}{1 + u^{2}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial x} = 2x.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{1 + u^{2}}\cdot 2x = \frac{2x}{1 + \bigl(x^{2} + y\bigr)^{2}}.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial z}{\partial y}, mantemos \frac{\partial z}{\partial u} = \tfrac{1}{1 + u^{2}} e agora
\frac{\partial u}{\partial y} = 1.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\,\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{1 + u^{2}}\cdot 1 = \frac{1}{1 + \bigl(x^{2} + y\bigr)^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{1 + (x^{2} + y)^{2}} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 + (x^{2} + y)^{2}}

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